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14. Dez
Don

Trägheitsmoment eines Hohlzylinders

Im Rahmen der Vorbereitung auf das Physik-Labor gab es kürzlich für uns die Aufgabe, wir sollen die Formel für das Massenträgheitsmoment eines Hohlzylinders herleiten. Das ist etwas kniffelig, aber im Grunde weit weniger problematisch, als es scheint. Jedenfalls, wenn man weiß, wo man anzufangen hat. :) Hier ist die Lösung, die ich mir erarbeitet habe.

Das Volumen eines Hohlzylinders errechnet sich anhand eines einfachen Tricks: Man subtrahiert das Volumen Va eines Vollzylinders mit Radius ri (dem Innenradius des Hohlzylinders) von dem Volumen i eines Vollzylinders mit Radius ra (dem Aussenradius des Hohlzylinders). Es gilt:

V_{hz} = V_a-V_i

Analog errechnet sich auch das Trägheitsmoment J, nur dass eben nicht die Volumina, sondern die Trägheitsmomente subtrahiert werden.

J_{hz} = J_a-J_i

Mehr gehört auch nicht dazu. Und hier der vollständige Lösungsweg.

Generelle Formeln

Wir wissen, dass sich die Masse eines Körpers anhand seines Volumens und seiner Stoffdichte ρ (rho) errechnen lässt. Es gilt:

m = V*\rho

Für einen Vollzlinder gilt:

V_{vz}=r^2*h\pi\\m_{vz}=r^2*h\pi\rho

und für einen Hohlzlinder gilt:

V_{hz} =(r_a^2-r_i^2)*h\pi\\m_{hz}=(r_a^2-r_i^2)*h\pi\rho

Trägheitsmoment eines Vollzylinders

Zuerst errechnen wir das Massenelement des Zylinders, indem wir die Masse nach dem Radius differentieren.

dm=\frac d{dr}m=2r*\pi\rho\quad dr

Dieses setzen wir in die allgemeine Formel des Trägheitsmomentes

J=\int r^2\quad dm

ein und erhalten

J=\int r^2\quad(2r*h\pi\rho\quad dr) \\<br />
J = \int 2r^3 \quad h\pi\rho\quad dr \\<br />
J = \frac 1 2 \quad r^4 \quad h\pi\rho

Setzt man nun den o.g. Term für die Masse des Vollzylinders ein, ergibt sich die (bekannte, aber herzuleitende) Formel für das Trägheitsmoment des Vollzylinders:

m_{vz}=r^2*h\pi\rho\\J_{vz}=\frac 1 2 \quad r^2\quad(r^2*h\pi\rho)\\J_{vz}=\frac 1 2 \quad r^2\quad m

Trägheitsmoment eines Hohlzylinders

Wie eingänglich erwähnt, errechnet sich das Trägheitsmoment des Hohlzylinders mit dem Innenradius ri und dem Aussenradius ra, sowie den Massen mi und ma nach der Formel

J_{hz}=J_a-J_i

so dass gilt:

J_{hz}=(\frac 1 2\quad r_a^2\quad m_a)-(\frac 1 2\quad r_i^2\quad m_i)\\<br />
J_{hz}=\frac{(\quad r_a^2\quad m_a)-(\quad r_i^2\quad m_i)}2

Aus der Formel zur Berechnung der Masse eines Zylinders ergibt sich

m_a = r_a^2*h\pi\rho\\m_i=r_^2*h\pi\rho

Setzt man diese in die o.g. Formel für das Trägheitsmoment an, ergibt sich:

J_{hz}=\frac{(\quad r_a^2*r_a^2*h\pi\rho)-(\quad r_i^2*r_i^2*h\pi\rho)}2\\<br />
J_{hz}=\frac{h\pi\rho}2(r_a^4-r_i^4)\\<br />
J_{hz}=\frac{h\pi\rho}2(r_a^2-r_i^2)(r_a^2+r_i^2)

Substituiert man nun mit der zu Beginn angegebenen Formel \normalsize m_{hz}=(r_a^2-r_i^2)*h\pi\rho so ergibt sich

J_{hz}=\frac 1 2 m_{hz}(r_a^2+r_i^2)

Dünnwandiger Hohlzylinder

Für den Sonderfall eines dünnwandigen Hohlzylinders (Ring) gilt: \normalsize r_i\approx r_a\approx r und folglich

J_r=\frac 1 2 m(r^2+r^2)\\<br />
J_r=\frac 1 2 m\quad 2r^2\\<br />
J_r=m \quad r^2

Und mehr gibt’s dazu auch nicht zu sagen. :)

7 Antworten zu „Trägheitsmoment eines Hohlzylinders”

  1. #1~Cyrus01

    Super Erklärung, super Herleitung. Jetzt check ich es auch. Vielen Dank.

  2. #2~hjgfdu

    Hammer erklärung!!!! top

  3. #3~Sebastian

    Warum gilt denn:

    dm = 2*r*pi*rho*dr

    ???
    Wenn man auf beiden Seiten integriert erhält man doch:

    m = r^2*pi*rho

    Also: Masse = (Kreis-)Fläche*pi*Dichte
    Das stimmt aber nicht. Bitte um Erklärung…

  4. #4~Sebastian

    Ich schrieb:

    “Also: Masse = (Kreis-)Fläche*pi*Dichte”

    Meinte aber:

    Also: Masse = (Kreis-)Fläche*Dichte

    Sorry.

  5. #5~Sebastian

    Achso, hast offenbar das “h” vergessen.

    Ansonsten kann ich mich nur meinen Vorrednern anschließen, gelungene Herleitung, sehr gut nachvollziehbar.

    Aber eines noch, warum gilt:

    dm = (dm/dr)

    ???

  6. #6~Florian

    wenn man m=pi*r²*h*p nach dm/dr ableitet kommt doch
    2*pe*r*h*p raus. Irgentwie sehr ich grade nicht wo bei dir das h hin gekommen ist.

  7. #7~Dick

    Ich glaube, du hast dem differenzieren der Masse das h unterschlagen. Aber sonst sehr anschaulich erklärt.