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14. Dez
Don

Herleitung des Steinerschen Satzes

Der Steinersche Satz \normalsize J_a = J_0 + a^2 M beschreibt das Trägheitsmoment eines Objektes bezüglich einer Rotationsachse Ra, die sich im Abstand a zu einer Schwerpunktachse R0 befindet, bezüglich welcher wir das Trägheitsmoment J0 bereits kennen; M ist hierbei die Gesamtmasse des Objektes. Dieser Satz lässt sich aus der Definition des Trägheitsmomentes direkt herleiten.

Diese lautet:

J_0 = \sum l^2 \quad \Delta m

und beschreibt die Summe aller Massepunkte, multipliziert mit ihrer quadrierten Entfernung zur Rotationsachse.

Herleitung des Satzes

Für die folgende Betrachtung legen wir fest, dass die Rotationsachse, sowie die Schwerpunktachse, auf die wir uns beziehen, parallel zur Z-Achse im Koordinatensystem liegen.
Damit gilt:

l = \sqrt {x^2 + y^2}

Ferner setzen wir a so an, dass entlang der X-Achse des Systems verschoben wird. Dann ergibt sich als Abstand zwischen der Rotationsachse Raund Massepunkt Δm:

u = \sqrt{(a-x)^2+y^2} \\ u^2 = (a-x)^2+y^2

und somit als neues Trägheitsmoment:

J_a = \sum u^2 \quad \Delta m \\
J_a = \sum \big( (a-x)^2+y^2 \big) \quad \Delta m \\
J_a = \sum (a^2 - 2ax + x^2 + y^2) \quad \Delta m \\
J_a = \sum (x^2+y^2) \quad \Delta m - 2a\sum x \quad \Delta m + a^2 \sum \quad \Delta m

Dabei verdienen die drei Teilterme Ja1, Ja2 und Ja3 besondere Beachtung.

Der erste Term, Ja1, ist nichts anderes als das bekannte Trägheitsmoment bezüglich der Schwerpunktachse R0:

J_{a1} = \sum (x^2+y^2) \quad \Delta m \\
J_{a1} = \sum l^2 \quad \Delta m \\
J_{a1} = J_0

Der dritte Term, Ja3, beschreibt eine Summierung aller Massepunkte. Das ist selbstverständlich exakt die Gesamtmasse M des Objektes, so dass sich ergibt:

J_{a3} = a^2 \sum \quad \Delta m \\
J_{a3} = a^2 M

Der zweite Term, Ja2, ist leichter zu begreifen, wenn man sich noch einmal vor Augen hält, dass er sich auf die Schwerpunktachse bezieht. Jede beliebige Achse um die Schwerpunktachse beherbergt eine ebenso hohe Masse in positiver Richtung, wie in negativer. Hier kommt die Dichte des Objektes ins Spiel: Die Massepunkte können entlang dieser Achse unterschiedlich gehäuft vorkommen. Sie müssen aber, denn das ist die Definition der Schwerpunktachse, in Summe null ergeben. So ergibt sich, dass \normalsize \sum x \quad \Delta m = 0 ist und

J_{a2} = - 2a\sum x \quad \Delta m \\
J_{a2} = -2a * 0 = 0

folgt. Zusammengesetzt ergibt sich:

J_a = J_{a1} + J_{a2} + J_{a3} \\
J_a = J_0 + 0 + a^2M \\
J_a = J_0 + a^2M

Und damit ist die Reise beendet.


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